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12月 08 2016

■ オプション代金の決まり方(その2)

・オプションの理論価格

前回のコラムでは,「■ オプション代金の決まり方」と題して,経済の動きや時間がどのように影響するのか解説を試みました。

では,オプションの理論価格が,どのような考えで決定されているのか解説してみましょう。理論価格というのは,確率論にいう期待値,すなわち多数回試行を繰り返せば平均的に得られるであろう額,というくらいの意味です。この確率的な期待値を算出する方法としては大きく分けて,①解析解を導く方程式を解くやり方と,②乱数を発生させたシミュレーションを多数回行うやり方とあります。①は,古典的なブラック=ショールズ式が有名です。②の方法は,モンテカルロ・シミュレーションと呼ばれ,金融に限らず,理工系の研究には広く用いられている方法のようです。

・ブラック=ショールズ価格式

では,ブラック=ショールズ価格式をみてみましょう。c:コールオプション価格,p:プットオプション価格,現在の株価をS,オプションの権利行使価格をK,無リスク金利をr,ボラティリティをσ(シグマ),オプション満期までの時間をTと定義すると,次のように,表されます。

【ブラック=ショールズ価格式】

%ef%bd%82%ef%bd%93%e5%bc%8f

上の式中に登場するN(x)というのは,標準正規分布の累積分布関数と呼ばれるもので,標準正規分布に従う変数が、x以下をとる確率を意味します。N(d2)は,リスク中立世界でのオプションが行使される確率を表し,KN(d2)は,行使価格にその価格が支払われる確率を掛けたものを意味しています。

 

・割引現在価値(NPV)

上の式の %ef%bd%84%ef%bd%86 は,T期間という時間の経過分で発生する金利をその利率rで割り引いて現在価値に引き直すためのものです(eは自然対数の底,ネイピア数です。)。

裁判実務でも,交通事故の損害賠償などでは,中間利息控除ということが行われます。

これは,将来にわたる賠償額を一括して現在得てしまうと,手元に金利による運用益が残ってしまうから,金利による運用分だけ,現在一括前倒しで支払われる額から控除するというものです。

中間利息控除と同じで,確率的な期待値である将来の価格を,期間に応じた現在価値に換算するのです。

 

・実際に計算してみましょう

ちょうど1年後に,同じ価格を行使価格とするオプションの価格評価をしてみます。

例えば,2016年11月14日の日経平均株価終値は,1万7672.62でしたので,S(現在の株価)とK(権利行使価格)を1万7672と仮定します。同日の長期金利はマイナス0.015%ですが,ここではr=0.01%と仮定します。σ(ボラティリティー)には,日経平均VI(ボラティリティー・インデックス)の最近の値を参考に,例えば,21%と仮定してみます。前提として「ちょうど1年後」なので,T=1です。

ブラック=ショールズ価格式のN(x)の部分,すなわち標準正規分布の累積分布関数の値を求めたい部分について,

標準正規分布の確率密度関数は,

%ef%bd%8e%ef%bc%88%ef%bd%84%ef%bc%89%ef%bc%91

ですので,これを -∞ → d まで積分する

%ef%bd%8e%ef%bc%88%ef%bd%84%ef%bc%89%ef%bc%92

を計算することになりますが,エクセルではこれを計算する関数「NORMSDIST」が用意されています。Rという統計計算ソフトでは、pnormで計算できます。

また,ブラック=ショールズ価格式のlogの部分,すなわち自然対数の値を求めたい部分については,エクセルでは関数「LN」が用意されています。Rという統計計算ソフトでは,logで計算できます。

設例の条件でRで計算してみると,

コールオプション価格                    プットオプション価格

1560.035             1384.196

という結果になりました。

設例の計算結果は,1年後に,日経平均株価1単位を1万7672で買うヨーロピアン・コールオプションの理論価格は1560.035,同じくプットオプションの理論価格は1384.196となりました。

 

・理論価格も取引の参考情報?

理論価格やその計算過程を知ることで,市場で実際に取引されたオプション価格(プレミアム)からボラティリティーを逆算することや(インプライド・ボラティリティー),市場参加者の心理が,理論価格からどのようにズレているのかをみながら投資判断をすることが可能となるのです。

このように,デリバティブ評価の理論値は,ある意味で,金融機関などの玄人同士の取引において,値決めの基準となる重要な参考情報ともいえるものでしょう。

今回は,完全に趣味に走った内容でしたので,次回は,オプション取引が問題となった裁判例を題材に書いてみようと思います。


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